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如何學好算數

一、簡單的計算，也要（yào）循序（xù）漸（jiàn）進地掌握

計算的學習（xí）是循（xún）序漸進的（de），人教版一年級算數的安排是這樣（yàng）分級（jí）的：

5以內加減法

10以內加減法

20以內進位加法（fǎ）

20以內退位減法

100以內加減法。具體又分為整十數加減（jiǎn）整十數、兩位數加一位數（shù）或整十數、兩位數（shù）減一位數或整十數。兩（liǎng）位數加減兩位數是二年級的知（zhī）識。

怎麽樣，作為（wéi）大人，看起（qǐ）來是不是覺得很囉嗦？100以內（nèi）的加減法都要分這麽多級別來學？但是，當你真的跟著孩子（zǐ）一路輔導（dǎo）過（guò）來，你就會發現，這個（gè）設置是多麽的科學！

科學的設置，還要輔以科學（xué）的方法（fǎ）。最高效的（de）學習方法（fǎ）當然是“學少得多”，即把大部分時間精力用來（lái）學習（xí）其中的關鍵知識，然後（hòu）再拓展到整體（tǐ），達到（dào）以（yǐ）點帶麵、融會貫通的（de）學習（xí）效果。

對（duì）於一年（nián）級甚（shèn）至整個小學階段（duàn）來（lái）說，計算的重（chóng）中之重（chóng）就是10以內加法和20以內進位（wèi）加法（fǎ）。

是的，你沒（méi）看錯，就是這麽少！

二、10以內加減（jiǎn）法

回頭剛開始朋（péng）友的問題，一開始學算數就是要掰著手指頭算的。不要小看（kàn）這個過程，對（duì）於數這個抽象的概念，小朋友就是要通過肢體動作和肌肉記憶來慢（màn）慢理解和內化。這個（gè）過程看似（sì）笨（bèn）拙，卻對（duì）理解大有幫助。

先熟練掌握5以內的加減法（fǎ），就是掰著手指數，數得多了，慢慢就理解了，然後開始背，5以內的分解和組成（chéng）：

以3為例（lì）：3可（kě）以分成1和2、2和1；1和2組成（chéng）3，2和1組成3。

然後是10以內（nèi）的分解，6到9方法（fǎ）同上，10有專門的好朋友歌：

一（yī）九一九好（hǎo）朋友，二八二八手拉手，三七三七真親密，四六四六一雙手，五五湊（còu）成一雙手。

去這樣，讓孩子熟練到看3想7，看2想8，看......，一旦（dàn）達到這樣的效果，10以內（nèi）的加法就（jiù）非常熟練了。

至於10以內的（de）減法？加法都會了，減法還是問題嗎？孩子不理解？拿數棒演（yǎn）示一下加法和減法的關係就好了（le）。

10以內的分（fèn）解（jiě）和組成

三、20以內進位加法

20以內加減法的（de）重點就是20以內的（de）進位加法，用“湊十法”來掌握，舉（jǔ）個例子（zǐ）：

湊十法（fǎ）

可以看出，考驗的是10以內加減法的基（jī）本功：看9想1，6可以分解成1和5，答案就出來了。

一開始用破十法一步（bù）一步算，做（zuò）的（de）多了，速度就上去了（le）。輔導孩子的過程中，我發現孩子容易卡殼和（hé）出錯的是這幾（jǐ）個算式：7+8=15、6+7=13、5+8=13。於是，我幹脆直接（jiē）讓他背下來，他後來告訴我（wǒ），自從我讓他背下（xià）來之後，他做題就比（bǐ）較快（kuài）了，關鍵是，還（hái）不出錯。

對於你家孩子（zǐ），你要（yào）觀（guān）察他容易在哪個地方卡殼，就讓他直接把那（nà）個算（suàn）式（shì）背下來（lái），形成機械記憶。

再次重申，減法是加法的變形，所以如果你家孩子算數不好，就把重點放在10以內加法和20以內進位加（jiā）法的練習上。我家孩（hái）子現在（zài）每天一頁口算，我不給加難度，還是做這些基礎，因（yīn）為我知（zhī）道這是基礎中的基礎（chǔ），重點中的重點。

20以（yǐ）內進位加法

總（zǒng）結一下，孩子剛（gāng）學習算數時，家長切不可操之過（guò）急，總以（yǐ）為很簡單，孩子應該一下子掌（zhǎng）握，卻不知，這些看似簡單的計算卻是（shì）數學大廈（xià）的根基，一開始要掌（zhǎng）握的重點就是（shì）10以內加法（fǎ）和20以內進位加法，其它皆為延伸和變形。

複雜，是簡單的變形，抓住重點，掌握核心（xīn），學少得多，孩子輕鬆，大人放鬆。

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中國古代數學九章算術（shù）

近代著名（míng）科學家伽利略曾提到“自然這本大（dà）書是用數學的語言寫（xiě）成的。”數學不僅在人類探索宇宙和研究自（zì）然的過程中起到了重要的作用，而且作為一種生產工具和認識世界的方法論。在人類社會的不同時期，對社會的發展和（hé）進步都起了至關重要的作用。而我（wǒ）國（guó）的數學應用，從出土的甲骨文（wén）來看，最遲當在殷商時期已有數字應用的記載了。

從（cóng）原始社會的結繩計（jì）數到算術、幾何（hé）、再到微積分（fèn），都包含了人類共同智慧的結晶。而《九章算術》就是中國古代（dài）數學著作（zuò）中最為閃亮（liàng）的一顆星。

中國古代數學基本以《九章算術》為核（hé）心，它一直（zhí）是人（rén）們學習數學（xué）的重要教科書。十（shí）六世紀以前的中（zhōng）國數學著作，從成書方式來（lái）看，大都沿襲《九章算術》的體例。在曆（lì）代先賢的不斷學習、引（yǐn）用和完善下，其日漸（jiàn）完備，並逐（zhú）漸形成我國古代初等數學的體係。為日後我國數學知識體係的不斷完善（shàn）與發（fā）展打下了堅（jiān）實（shí）基礎。

一（yī）、《九章算術》的出現

在春秋戰（zhàn）國數（shù）學（xué）發展的基礎上，秦漢時（shí）期出現了我國古代最早的一批數學專著，見（jiàn）於《漢書·藝文誌》著錄的《杜忠算術》和《許（xǔ）商算術》兩部數學書，早已失傳。現在傳本的《九章算術》九（jiǔ）卷在《漢書·藝文誌》中則沒（méi）有著錄。班固的《漢（hàn）書·藝文誌（zhì）》是依據劉歆的《七略（luè）》寫成的，可知《九（jiǔ）章算術》的（de）編成（chéng）當在劉歆《七略》之後，在公元五十年前後漢光武（wǔ）帝時的鄭眾解釋《周禮》“九數”時，“勾股”的概念還沒有被安排到“九數”內去（qù），說明包含勾股章的《九章算術》的編成不會（huì）在公元50年之前。另（lìng）外，《後漢書·馬援傳（chuán）》說，他的侄（zhí）孫馬續“十（shí）六治詩，博（bó）觀（guān）群（qún）籍，善《九（jiǔ）章算術》。”馬續是馬融的哥哥，其生年約在公元70年前後，他研究《九章算術》大概是在公元90年前後。因此，《九章算術》的成書大約是在公元50年到100年之間。

《九（jiǔ）章算術》是我國現有傳（chuán）本的古算書中（zhōng）最古老的數學著作，對後世曆（lì）代數學的發展，影響很大。它的出現（xiàn），標誌著我國古代以算籌為工具，具有自己獨特風格的數學體係的形成。

經過春秋戰國到西漢（hàn）中期數百年間政治、經濟和文化的發展，《九章算術》比較係統地總結和概括了這段時期人（rén）們在社會實踐中積累的數學（xué）成果。這一時期的（de）社會變革（gé）和生產發展，給數學提出了不少急待解決的測量和計算的問題。比如，要實行（háng）按田畝多寡“履畝而稅”的政策，就需要測量和計算各種形狀的土（tǔ）地麵（miàn）積；要合（hé）理地攤派稅收就需要進行（háng）各種比例分配和攤派的計算；建造大規模的水利工程、土木工程（chéng）則需要（yào）計算各種形狀的體（tǐ）積以及如何合理地使用（yòng）人力、物（wù）力（lì）；商業（yè）、貿易的發展，也是需要（yào）解決各種按比例核算等（děng）問題；還有天文曆法的精確推算等等。

《九章算術》正是（shì）由各類（lèi）問題中（zhōng），選出二百四十六個例題，按解題的方法和應用（yòng）的範圍分為九大（dà）類，每一（yī）大類為（wéi）一章，編輯而成的。它所提供的數學解法，是為當（dāng）時生產和科（kē）學技術的進（jìn）一步發展，以及為封建政府計算賦稅（shuì）、攤派徭役等，提供（gòng）了方便。

據數學史學者考（kǎo）證，www.17c.com現在所見到的《九章算術》雖大約成書於公元一世紀，但並（bìng）不是一（yī）時一人之作，而是經由很多人的修改和補充，才逐漸（jiàn）發展完備起來的。《周禮》記載，授予貴族子弟（dì）的（de）六門課程中有“九（jiǔ）數”一項，所謂“九數”指（zhǐ）的是數學分為九個細目。三國時代的（de）劉徽曾為《九章算術》做過（guò）有名的注釋工作，他在注《九章算（suàn）術》的序言（yán）中說：“九數之流則九章是矣。”劉徽生活的時代，距《九章算術》成書的（de）時代較近，他的話應是（shì）可信的，即戰國時期的“九（jiǔ）數（shù）”乃是《九章算術》的濫觴。劉徽還說：“漢北平侯張蒼，大司農中丞耿壽昌皆（jiē）以善算命世。蒼等因舊（jiù）文之遺（yí）殘，各稱刪補。故校其目與古或異，而所論者多近語也。”這也（yě）說明在張蒼之前已有“舊文”，而現存的《九章》是由張蒼等人在“舊文”基礎上增刪而成。

由此可（kě）說明《九章算術》一書，是經過長時期由許多人刪訂增補才最（zuì）後成書的，它是中國先秦至漢初許多學（xué）者共同工作的結晶。

《九章算術》首次提出（chū）並應用了“負（fù）數”

二、《九章算術》的地（dì）位及流傳

從三國到唐代初年（nián）的幾百年間，是《九（jiǔ）章算術》流傳史上的繁榮（róng）時期，期（qī）間一批傑出數學家可以說都是通過學習、研究《九章算術》而培養出來（lái）的。

中國的學者不同於西方學者喜歡自己著書立說，他們（men）往往通過對（duì）現有典籍的注釋來表達自己的（de）思想。而對於《九章算（suàn）術》的注釋（shì）。三國時（shí）期的劉徽可能是給《九章算術》作（zuò）注的第一個數學家，也是能夠流傳下來的最有名的注解。他所采用的方法（fǎ）是“析理以辭，解（jiě）體用圖”。就是說是用文辭和圖形兩種方法相結合對《九章算術》進行注釋。現傳的《九章算術》有劉徽的詳細文字注釋（shì），且（qiě）在文（wén）字中多次提到圖形，但是沒有一幅（fú）圖形在書中。這些圖形應該是在流傳中被刪去了，或是散（sàn）逸了。

劉（liú）徽的《九章算術注》特別詳細，很多地方注文遠遠超（chāo）過原文，有些則形同獨立（lì）的論文。其對於《九（jiǔ）章算術》的完善大致有這幾方麵。首先（xiān）是對名詞術語進（jìn）行了解釋或給出了（le）相當於定義的文字。其（qí）次他給幾乎所有的計算公式或定理性的敘述（shù）進（jìn）行了邏輯論證或說明道理（lǐ）。也對原文的個別部分和某些相關（guān）的問題進行了有理有據地分析批判，用辭犀利，切（qiē）中要害。在此基礎上，劉徽還提出了許多新概念、新思想和新方法。最後是對於前人的思想方法的（de）吸收。這些前人的思想有些直接寫進了注中，有些則（zé）把它發展、擴充為獨立的篇（piān）章，如“重（chóng）差”即為一例，他說：

徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥（jué）數，載之於誌，以（yǐ）闡世術之美。輒造重差，並為注解，以究古人之意，綴於（yú）勾股之下。

就（jiù）是說劉徽在原書九章之末又加了一章，因而劉徽注本《幾章算術》為十章，這是其流傳史上的第一（yī）次大變化。

劉（liú）徽之後，據史籍記載，為《九（jiǔ）章（zhāng）算術》寫過注（zhù）解的還有著名數學家祖衝之等（děng）人，可惜這些注解都（dōu）在漫（màn）長（zhǎng）的曆史海（hǎi）洋中遺失了。

可（kě）以說，南北朝時期，《九章算術》的流傳已經相（xiàng）當廣泛，它已（yǐ）成為時人學習數學的必讀書。當時屢有（yǒu）出（chū）現以“九章”為名的數學著作。“九（jiǔ）章”在南（nán）北朝（cháo）這段時期在某種程度上已然成為了（le）算學的代名詞。

而到了隋唐（táng）時期，特別是唐代前期，《九章算術（shù）》由（yóu）於被官（guān）方列為主要（yào）數學教科書而形成了第一個流傳高峰。

在隋代（dài），國家設置算學博士，為教授數學的國家教（jiāo）師。唐代因之，但教育規模（mó）上要比隋代大得多。為了教學的需要，李淳風、梁述、王真儒等“受詔注《五曹》、《孫子》十部算經，書成，唐高祖令國學行用（yòng）。”

在這“十部算經”中《九章算術》是最重要的教材之一。這次（cì）注釋是在劉徽的基礎上進行的，大部分都是寫在劉徽未注的（de）地方。有部（bù）分為重新注解，或繼續劉徽（huī）注闡釋（shì）同一問題。在注中除對一些名詞等的（de）解釋外，還有對劉徽注的一些改動。注中也包括不少（shǎo）新意和保留了一些有價（jià）值的史料，在數學史上（shàng）有（yǒu）其重要（yào）性。

《九章算術》被列（liè）為國家“明算科”的（de）教科書“十部算經”之（zhī）一，不（bú）但肯定（dìng）了其在中國數學史上的地位，而且在（zài）流傳上也是有很大好處（chù）的。“明算科”的學生多則達三（sān）十幾人，少則幾人。它的曆史也不是一二（èr）屆，而是斷斷續續維持了一百多年，究竟有多少學數學的學生實無法統（tǒng）計，粗略估計恐不（bú）下一二百人。這些人大都（dōu）是要學（xué）習《九章算術》的。但有時也把（bǎ）學生分為兩組，一組學習《九章算術》，另一組不學，而且（qiě）人數各占一半。就算如此，學習過《九章算術》的學生也要有半百左右。這些學（xué）生都得有（yǒu）書，就要出現幾十部紙抄本《九（jiǔ）章算術》，畢業後這些（xiē）抄本便被帶到（dào）了全國各地。由此可想見（jiàn）《九章算術》在唐代的（de）流傳之廣。遺憾的是（shì），這批紙抄本（běn）《九章算術》連一（yī）本也（yě）未保存下來。

《九章算術》不僅在國內大量流傳（chuán）。而且在唐（táng）代也傳到了朝鮮、日（rì）本（běn）等鄰國。日本來中國的人中，“遣唐使”對文化的交（jiāo）流起了主要作用。他（tā）們來中國的一個主要目的就是向中國學習先進文化，因（yīn）此他們在中國生活、學（xué）習了一段時間回國後（hòu），把很多中（zhōng）國的文（wén）化、習俗等都帶去了日本。作（zuò）為大國先進文化的代表，對《九章算術》的學習、傳播（bō）自（zì）然也包括其中。而當時（shí）的唐朝及附屬國渤海也都有人不斷去朝鮮和日本。這無疑也推動了（le）《九章算術》的向外傳播。

算籌

三、《九章算術》的數學思想及（jí）方法（fǎ）

一、《九章算術》具有天然的開放性和實用性。

《九章算（suàn）術》的內容緊密聯係實際，目的是解決人們生（shēng）產、生活中遇到的數學問（wèn）題。該書的（de）一些（xiē）章節直接與某些（xiē）官員的職責相關。如“方田”章（zhāng）直接與“籍（jí）田令”(掌管耕種宗廟社稷（jì）之田（tián）的官員)的職責相關；“均輸”章直接與“均輸令”(掌管（guǎn）統一征收、買（mǎi）賣和運輸貨物的官員)的職責相關（guān）。“少廣”章（zhāng）和“商功”章的部分內容直接服務於“符節令”和“鍾官令”等官職。所以，《九章算術》所提供的數學方法是中國古代許多官員必備的技藝的一種。這就決定了其必然（rán）不斷反映現實需要，回答實踐中提（tí）出的各種數（shù）學問題，以開放的結構與時俱進、吐故納新。

二、《九章算術》的算法（fǎ）化。

在實用思想指導下，古代中國人習慣於把問題數值化、離散化，利用具體的（de）數值（zhí）計（jì）算（suàn）來解決一係列複雜的應（yīng）用問題或理論問題。這種計算思想重（chóng）視的是構造出可利用算籌計（jì）算的算法。中國傳（chuán）統數學實用性（xìng）的特征（zhēng），決定（dìng）了它的發展是以解決實際應（yīng）用問（wèn）題（tí）和提高計算技術為其主要目標。

我國傳（chuán）統數學是沿著注重（chóng）從（cóng）實踐（jiàn）經驗中產生和發展數學的思（sī）維方式發展數學的，擅長（zhǎng）於算。這與西方數學的道路是不（bú）同的。中國傳統數學思想有著自己的淵源和模（mó）式（shì）。在初等數學領域之內，正是這種傳統數學思想把我國數學推向世界的最高峰，許多國家與我國相比，望塵莫及。

中國傳統數（shù）學本質上是一種構造性（xìng）數學，數學對象（xiàng）及結果基本上均可由固定的演算程序經（jīng）有（yǒu）限步驟得到，各種計算均依固定的演算程序（xù）進行，發展起一套程序化、機械化的算法體係。

《九章算術（shù）》的主要內容是“術”，而每一個“術（shù）”都是（shì）由帶有具體數值的一些具體問（wèn）題引出，“術”實際上是處理相應數值的算法，它（tā）可以在古代中國長期使用（yòng）的（de）計算工具（jù）——算籌上機械地進行，其中的很多算法甚至可以容易地轉化成現代的計算機（jī）語言。

三（sān）、《九章算術（shù）》的模型（xíng）化。

《九章算術》中（zhōng）大多數問題都具有（yǒu）一般性解法，是一類問題的模（mó）型，同類問（wèn）題可以按同（tóng）種方法解出。其（qí）實，以（yǐ）問題為中心、以算法為基礎，主（zhǔ）要依靠歸（guī）納（nà）思維建立數學模型，強調（diào）基本法則及其推廣，是中國傳統數學思（sī）想的精髓之一。

中國傳統數學的實用性，要求（qiú）數學研究的結果能對各種（zhǒng）實際問題進行分類。對（duì）每類問題給出統一的解（jiě）法，以歸納為主的思維方式（shì）和以問題為中心的研究方式，傾向於建立基本問題的結構與（yǔ）解（jiě）題模式，一般（bān）問題（tí）則被化歸、分解為基本問題解（jiě）決。

由於中國傳統數學未能建立起一套（tào）抽象的數學符（fú）號係統，對一般原理、法則的敘述一方麵是借（jiè）助文辭，一方麵是通過具體問題的解題過程加以演示，使（shǐ）具體問題成為（wéi）相應的數（shù）學模（mó）型。這（zhè）既是中國古代（dài）數學區別於西方的重要特色，也是我國古代數學一直缺乏創新力的主（zhǔ）要（yào）原因。故而（ér）對於此點，www.17c.com要辯（biàn）證的看待和吸收、繼承。

四、數形結合直覺把（bǎ）握

數和形是數學（xué）中最基本的原始概（gài）念，《九（jiǔ）章算（suàn）術》開創了中（zhōng）國古代數學中數形（xíng）結合的獨特（tè）的研究方法。其表現為，用數（shù）的計算來解（jiě）決形的研究的（de）若幹理論問（wèn）題，如“方田”、“商功”章的（de）種種平麵圖形和立體圖形的求積問題，都用（yòng）數的計算，即著（zhe）重於考察圖形中數的關係，算出確（què）定的（de）數值，來得出積與邊、高、徑長的關係（xì）。同時，也用形的直觀來解釋數的算法，如對（duì）“開方術”、“開立方（fāng）術”等（děng），為以圖形作解釋（shì）打下基礎(實（shí）際的解釋是劉徽完成的，借助於麵積和體（tǐ）積的圖（tú）解對開平方和開立（lì）方作了通俗易懂（dǒng）的說明。在劉徽的注文中，更是把它發展為“析理以辭、解體用圖”這樣（yàng）一套係統方法（fǎ）)。

數（shù）形結合的思想有助於數學的各個（gè）領域的融會貫通，有（yǒu）助於發揮數學思（sī）維的整體性，使之（zhī）更為深刻、靈活，是現代數學教學中強調的基（jī）本數（shù）學思想之（zhī）一。正如法國數學家拉格朗日（rì）所說（shuō）：“當‘數’和‘形’分道揚鑣的時候，數（shù）學（xué）的進展就緩慢（màn），應用也有（yǒu）限（xiàn）。但是，一旦它（tā）們聯袂而行，它們就互（hù）相（xiàng）從對方吸收新鮮的活力，從而大（dà）踏（tà）步地走向各自的完美。”

四、《九章算術》的影響

《九章算術》的（de）內容包（bāo）括了初等數學中算術、代數以及幾何的相當大部分（fèn）的內容，有著輝煌的（de）成就，而且它形成了（le）有自己特點的完整體係。這些特點就是：它重視理論，但不是那種嚴重（chóng）脫（tuō）離實際的理論，而在實際（jì）的計算（suàn）方麵具有很高的水平，有者（zhě）一整套在當時世界（jiè）上堪稱是十分先進的算籌（chóu）算法，用算籌的不同位置和不同擺法，不僅可以（yǐ）表（biǎo）示任意大的數目（mù），而且可以表示一個方程的各次項係數或是表示一個方程組中各方程的係（xì）數，進一步又可（kě）以表示正數和負數。在數學命題的敘（xù）述方法上，也是從實際的問題出發，而不是從抽象的定義和公理出發。

這些特點，使得中國數學在許多重要方（fāng）麵，特別是在在用十進製（zhì）解決實際問題以及（jí）在計算技術等方麵的顯著優點，遠遠勝過古希臘的數（shù）學體係（xì）。這也正是古希臘數學的欠缺（quē）之處。而中國缺乏的卻是象古希臘《幾何原本》那樣嚴密邏輯的幾何（hé）學和數學（xué）思想。對現代數學來講，精密的計算和嚴密的證明理論同樣（yàng）都是不可缺少的（de）。

中國古代（dài）數學的這些內（nèi）容後來經（jīng）過印（yìn）度和阿拉伯等國家輾轉傳入了歐洲，對文藝複興前後世界數學的發展，作出（chū）了（le）應有的貢獻。